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一、题型特征展示

“最大利润”的问题具体长什么样子呢?让我们先来看一道例题：

【例】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，定价为多少才能使利润最大?

A.63 B.64 C.65 D.66

根据题意我们可以知道，每次一涨价，销量就会随之下降，而总利润=单件利润×销量，因此总利润会随着涨价而变化，最终想求涨价多少元利润最大化的问题。这种题型就属于我们的“最大利润”问题，相信同学们应该见过不少类似的题目。这类问题在考试时往往只是更换数字，或者改成问“最大收入”，本质和解法都是一样的。

我们注意到这类问题有两个主要的特征：

1. 随着价格的提高，销量会相应地减少。价格提高得越多，销量就会下降得越多，并且每次价格提高“1”，销量的下降幅度都是固定不变的。

2. 题目的问法是“最大利润(收入)”。一开始价格提高会促使总利润随之提高，但当价格的提高超过一定限度时，会出现利润反降的情况。因此我们要找的是一个顶峰值。

那么，现在这类题目的特征相信大家都已经清楚了，下面我们就开始来学习怎么利用简单的方法来解这类题目吧。

二、巧解方法精讲

首先，就以刚才的真题为例，我们先把求总利润的方程式快速列出来。假设涨价了x元，总利润为y，则：

此时200+10x和300-10x的和就是定值了，所以只要使200+10x=300-10x，解出来的x就可以使y的取值最大，符合我们题目的要求。快速求解，x=5，则定价应为65，选择C项。

通过这道题的学习，有没有发现用均值不等式的思想来解这类题，确实非常的方便快捷呢?不知道各位小伙伴都掌握了没有?下面让我们来简单总结一下这个方法：

一、巧解方法总结

下面我们来总结一下怎么利用均值不等式的思想来解“最大利润”的问题”：

1. 根据题意，设上涨(下降)的价格为未知数X，快速列出一元二次方程式;

2. 令“利润”和“销量”两个含有X的括号之和为定值;(若X前的系数一致，则和为定值;若X前的系数不一致，需通过将两数都转化为它们的最小公倍数来达到和为定值。)

3. 和为定值后，直接令两括号相等，解出来的X值就是要上涨(下降)的价格。

相信通过以上这份总结，各位小伙伴们对于这个方法应该已经完全掌握了吧。下面，老师就带着大家一起来做几道练习题，通过题目再来巩固一遍。

二、同类真题演练

【例1】某种商品原价25元，成本为15元，每天可销售20个。现在每降价一元就可以多卖5件，为获得最大利润，需要按照多少元来卖?

A.23 B.22 C.21 D.20

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